디지털시대 수학이 힘이다

수학은 정의(definition)로부터 출발하는 학문이다. 필자는 캐나다 만큼 수학적 정의를 무시하는 나라를 본적이 없다. 교과서 조차 수학적 오류들이 너무많이 눈에 띈다.

예 를들어, 학생들에게 prime number(소수)가 무었인지 물어보면 대부분 1과 자기 자신으로 나누어 떨어지는 수라고 대답한다. 그렇다면 1은 prime number인가 아닌가? 전에 강의를 듣던 한 학생이 자기고등학교 수학선생 5명에게 물어봤더니 3명은 prime number이고 2명은 아니라고하여 급기야는 그 학교 수학선생 5명이 모여 토의한 끝에 다수결로 1을 prime number로 정했다는 웃지못할 내용을 그 학생으로부터 들은적이있다.

Prime number의 정의는 약수가 2개인수이다. 그런데 1은 약수가 1 하나 뿐이므로 소수가 아니다. 정의를 제대로 따르면 이와같이 간단한 문제를 많은 교과서들이 수학적 정의를 제대로 싣지않고 내용을 바꾸면서 많은 부분에서 문제가 되고있다.

즉, 이화여자 대학생이면 여학생이지만 여학생이라고 모두다 이대생은 아닌것이다. 그런데 캐나다 수학교과서를 보면 여학생이면 이대생이다,(필요조건을 충분조건처럼 사용하고있다.)라는 식으로 쓰고있다. 또한 캐나다는 초,중,고교 과정에 집합(set)을 도입하지않고 대수(Algebra)에서 접근하다보니 다른 나라에 비해 배우기도, 가르치기도 어렵다. G12과정중 Calculus에서는 미분만 배우고 적분을 배우지않고 대학에 진학하게돼 많은 학생들이 어려움을 겪고있다.

또한, Vector과목에서는 교과서 내용이나 학교에서의 수업내용은 수학적 벡터를 가르치지않고 물리의 벡터를 주로 다룬다. 수학적 벡터는 크기와 방향만 같으면 같은 벡터이고 이를 이용하여 많은 수학적 어려운 문제를 벡터를 사용하여 쉽게 구할수있는데 반해 물리의 벡터는 크기,방향,작용점을 따진다.

물론 수학적 벡터를 다 배우고 나서 시간이 남아 물리의 벡터를 더 공부하는것이라면 문제될게 없겠지만 수학의 벡터는 물리의 벡터와는 비교도안되게 양이 방대하고 할것도 많다. 그런데 대부분이 이런 부분을 생략하고있으니 문제가 아닌가?

Data Management과목에서는 경우의수를 먼저 배우고 확률과 통계를 공부하는게 순서인데도 학교에 따라서는 확률을 먼저 배우고 경우의 수를 가르치는 학교들도 많이있다.

G10 에서는 이차방정식을 먼저 배우고 인수분해를 나중에 가르치는 학교도있다. 세수를 하고 수건으로 얼굴을 닦는게 아니라 수건으로 얼굴먼저 닦고 세수하는 것과 같은 현실이다. 이런 상황에서 효과적인 수학 학습방법에 대한 글을 쓰려니 할말이 너무 많지만 내용을 요약하여 정리해보겠다. 

효과적인 수학 공부방법
수학이 어렵다는 생각부터 전환해야 한다. G8까지는 괜찮았는데 G9부터 어려워지기 시작하여 G11부터는 가장 많은 학생이 fail하는 과목이 수학이다, 등 다양한 소리를 듣는다. 사실 이러한 말이 나오는 것은 두 가지이다.
첫 째 사람들이 수학을 어렵게 생각하는 경향이 있다는 것과 둘째 수학이 진짜 어렵다는 사실이다. 그러나 수학은 어렵지 않고 생각하기 따라서 매우 재미있는과목이다. 그러나 어떤 사람이 수학이 어렵다고 인식할 경우 우선 심리적으로 어느 정도 패배의식이 발생 했다고 볼 수 있다. 수학은 어렵다는 고정관념을 벗어버리고 수학은 내가 하기 나름이다 라고 생각하고 자신감을 갖는 것이 중요하다. 

- 기초부터 다져나간다.
우 선 정의나 정리, 공식 등을 복습하고 쉬운 것부터 정복해 나간다. 처음부터 풀이를 보는 습관을 버려야 한다. 5분 이상 생각해도 모를 때는 풀이를 보아도 좋다. 풀이를 보고 이해가 되었으면 자기 스스로 다시 한번 풀어본다. 풀이를 보면서 문제를 푸는것은 장기적으로 당사자에게 수학적창의력과 문제해결능력, 인내력을 저하시키고 심리적으로 위축감을 심어주어 수학공부를 방해하는 요인이 된다. 

- 학교 수업내용보다 약간 심화 학습을 한다.
학 교수업진도를 따라가기 어렵거나 혹은 실력이 출중해서 학교진도보다 질적으로 앞서나가는 학생이 있을 수 있다. 수업진도를 따라가기 어려운 학생의 경우 방과후나 방학을 이용해서 개인적인 계획에 따라 보충 적인 학습전략을 세워야 할 것이며 학교진도보다 앞서가는 학생은 현재에서 자만하지 말고 보다 개인적시간에서 심화 학습 쪽으로 방향을 선회하는 것이 필요하다. 

- 약한 곳을 집중해서 공부하라.
자기가 특별히 싫어하고 잘 못하는 부분을 다소 여유 있는 시기(방학, 주말 등)에 집중해서 공부한다.
수학을 잘 하려면 수학적 개념이나 원리, 법칙을 단순히 암기하지 말고, 그것을 이해하고 응용하려고 노력해야 한다.
즉, 학년이 올라갈수록 수학을 잘 하려면 계산 문제보다는 수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고 그것을 활용하고 응용하는 방법을 생각하는 데 많은 노력을 기울여야 한다. 수학은 공식 암기에 앞서 기본적인 개념과 원리의 이해가 선행되어야 하는 과목이다.
수 학도 다른 교과와 마찬가지로 기억 주기 안에 복습이 이루어져야 효과를 극대화할 수 있다. 그날 배운 것은 집에 와서 반드시 복습하는 것이 효과적이며, 우선 정확한 개념과 원리를 복습하고, 공식을 활용하여 푸는 응용문제는 특히 많은 연습이 필요하다.

어떻게하면 수학을 잘 할 수 있을까?

당신의 자녀에게 다가오는 미래는 쓰나미인가 기회인가?


이 칼럼을 읽는 대부분의 독자들은 학부모이거나 성인들 일 텐데 칼럼의 내용은 대부분이 학생들을 위한 내용들이라, 쓰는 입장에서는 학생들을 위한 내용의 칼럼을 쓰면서 우선 부모들이 재미있게 읽을 수 있도록 써야하니 칼럼을 쓰며 가끔 고민할 때가 있다. 

미 래는 과거의 추세와 현재의 변화로 부터 만들어진다. 따라서 현재 이 시점에서의‘ 선택’은 자신의 미래를 바꿀 수 있다. 따라서 미래의 변화를 예측하고 지금미리 ‘준비’한다면 평균 수명100세, 은퇴 후 30년을 더 일해야 하는 미래에 보다 가치 있는 삶을 살아갈 수 있을 것이다. 

준 비하지 않는 자에게는 미래의 변화가 거대한 쓰나미로 다가오지만, 준비된 자에게는 미래가 거대한 기회로 다가올 것이다. 방학강좌를 하며 기초가 제대로 안 돼 있는 학생들은 강의를 듣고도 문제를 풀어 정답을 구하질 못하거나 잘못 풀어 틀리는 경우를 자주보게된다. 

특 히 대학 Calculus나 Linear Algebra반 경우 대학에서 이미 코스를 듣고 실패한 학생들의 경우 특히 기초가 약해 풀이를 틀리는 경우가 많다. 초,중,고 시절에는 계산기를 사용해 문제를 풀었는데 대학에선 대부분이 시험볼 때 계산기 사용을 금지하고있어 계산기없이 문제를 풀 정도의 기초가 안돼 있거나 정확한 계산절차를 몰라 애를 먹는데 하루아침에 해결할 수 있는 문제가 아니니 난감하다. 대학을일년 더 다니기만 하고 문제가 해결된다면 다행인데 그렇질못하니 문제아닌가? 

필자는 2000년도에 이민와 수학학원을 운영하며 그동안 학원에 입학하려는 학생들을 대상으로 학년에 따라 똑같은 진단테스트 문제로 학생들의 학업 능력을 평가해왔다. 

문 제를 A, B, C 3파트로 구성해 A파트는 기초를, B파트는 학교에서 배우는 문제들중 약간의 응용력을 필요로 하는 문제들로, C파트는 콘테스트 수준의 문제들로 진단테스트를 실시해왔다. 진단 테스트 결과가 과거 10년 정도와 비교하여 최근에는 학생들 대부분의 학력이 전체적으로눈에 띄게 낮아졌다. 

이 전 학년까지의 기초가 제대로 돼있는 학생들의 비율이 눈에 띄게 줄었다. 이민자와 유학생이 줄면서 아주 어려서 이민왔거나 캐나다에서 태어난 학생들은 수학성적도 캐나다화 돼가고있는것 같다. 아주 극소수의 학생들만이 기초부터 제대로 돼있고 대다수의 학생들, 우리아이가 학교에서 공부하는데 아무문제가 없다고 하는 학생들이나, 몇 년을 선행학습을 해왔다는 학생들조차 기초가 제대로 돼있지 않은 경우를 종종본다. 

이런 경우 학생들은 틀린 문제에 대해 아는문제인데 실수로 틀렸다고 한다. 물론 실수일 때도 있겠지만 대부분은 내용을 제대로 알지 못하거나, 잘못 알고있는 경우가 대부분이다. 

이를 걸러내기위해 12년 만에 진단 테스트 문제를 수학적 전 영역에 걸쳐 복수의 문제들을 주관식으로 다시 만들게 됐다. 진단테스트를 통해 어느 부분의 기초가 안 돼 있는지 정확하게 파악하여 학습계획을 짜도록 설계하였다. 

부 모들은 학생들에게 공부를 열심히 하라고 하지만 학생입장에서는 막상 공부하려 책상에 앉아 노력 해봐도 그동안의 학습 결손으로 인해 어디부터 손대야 할지 난감한 경우가 대부분이다. 이런 학생들의 경우 기초부터 차근차근 공부해나가는게 아니라 우물에서 숭늉찾는겪으로 서두르는 게 특징이다. 

우리 몸의 병중 죽음에 이르게 하는 중병조차 일찍 찾아내 초기에 대응하면 쉽게 고칠 수 있는 경우가 대부분이지만 너무 늦으면 돌이킬 수 없게 되듯이 공부도 마찬가지다. 

간혹 학부모들로부터 공부를 언제 시작하는 게 좋으냐는 질문을 받는다. 학습결손으로 진행되지 않도록 그때그때 익혀야 할 내용을 소화시키고 응용문제까지 정복하다보면 공부 습관도 몸에 배게 되어 최선이라 여겨진다. 

자녀들중 공부에 어려움을 겪는 학생들이 있다면 구체적으로 어떻게 도와주는 게 가장 효과적일지 여유를 가지고 생각해보자. 학생의 현재는 과거와 연결돼있고 미래는 현재의 연장선이 아니겠는가. 

다시 한 번 강조하는데 준비하지 않는 자에게는 미래가 거대한 쓰나미로 다가오지만, 준비된 자에게는 미래가 거대한 기회로 다가올 것이다. 
 

MIT 공대의 어느 빈 강의실. 걸레와 쓰레기통을 밀며 들어선 청소부는 칠판에 남겨진 수학 문제와 마주친다. 그리고 잠시 후 분필을 잡고 칠판을 공식으로 가득 메운다. 교수가 수업시간 중 남긴 까다로운 수학 문제를 이 청소부가 순식간에 풀어버린 것이다. 다음날 칠판에 남겨진 해법을 본 교수와 학생들은 이 놀라운 천재의 정체에 대해 궁금해 하고 결국 그 주인공이 정규 교육을 받지 않은 청소부란 사실을 알자 경악한다. 영화‘ 굿 윌 헌팅’의 도입부분이다.
너무나 드라마틱한 내용이어서 영화에나 나올 법 하지만 이는 1939년 캘리포니아 UC 버클리 대학의 실제 일화에서 아이디어를 얻은 장면이다.

통 계학 수업에 늦게 들어온 어느 학생은 어느 때와 같이 칠판한 구석에 적혀진 두 문제의 숙제를 슬그머니 적었다. 학생은 일주일 간 고민하다 나름 해법을 들고 교수님 방에 찾아갔다. 그리고 숙제를 늦게 내 죄송하다며 사과 한후 교수님 책상에 자신의 숙제를 놓고 나갔다. 6주쯤 지난 일요일 아침, 학생은 기숙사로 헐레벌떡 뛰어 들어온 교수님과 마주쳤다. 교수님은 다짜고짜 소리쳤다. “자네가 뭘 한 줄 아나! 통계학의 2대 난제를 푼 거야! ”칠판에 적힌 문제는 숙제가 아닌 당시 통계학의 난제를 수업시간 시작할 때 교수님이 소개하려 쓴 것이었다. 수업에 늦게 들어와 이 사실을 몰랐던 학생은 단순히 이 문제가 숙제인줄 알고 혼자 고민하며 풀었던 것이다.

수학계의 전설이 된 이 이야기의 주인공은 Linear Programming(선형 계획법)이란 방정식과 풀이법을 개발한 수학자 George B.Dantzig(조지 B. 단직)이다. 선형 계획법이란 최대의 목적을 이루기 위해 자원을 효율적으로 배분 계획하는 수학적 방식이다.

이 방식은 오늘날 경영 현장에서 효율적 자원 계획, 투자 최적화, 투자 분산과 같은 경영 계획과 투자 문제에서부터 비행 스케줄 운영 계획, 인력 배치, 공급망 최적 설계 등 현장 운영에 이르기까지 경영의 과학적 운영 계획 수립에 핵심적인 역할을 하고 있다. 이 선형 계획 이외에 다양한 수학모델이 현대 경영의 의사결정에 활용되고, 이는 우리의 일상을 바꿔놓고 있다.

세계 최대 온라인 상품점인 아마존 닷컴은 고객 개개인의 과거소비 내역을 통계와 인공 지능이론을 결합한 데이터 마이닝 기술을 통해 맞춤형 광고메일을 보낸다.

글로벌 유통기업인 월마트는 매장과 전 세계 흩어져 있는 물류센터의 재고 정보를 실시간으로 공유해 언제 어디서 어떤 물건을 어떻게 수송할 것인지를 수학적 최적화 방식으로 결정한다.

창 업 10년만에 영화 대여업계의 골리앗 블록버스터를 무너뜨리고 미디어 업계의 대부로 등극한 Netflix(넷플릭스)의 다윗의 돌멩이는 다름 아닌 고객 개개인의 영화 선택 패턴을 수학적으로 파악해 취향에 맞는 영화를 추천 해주는 영화 추천 알고리즘 때문이었다.

이처럼 첨단 수학은 대학 연구실에나 있을 것만 같지만 사실은 기업 운영의 핵심 두뇌역할을 하고 있다. 이것이 바로 현대 경영을 수학과 분리할 수 없는 이유다.

아 마존 닷컴 그리고 월마트와같은 글로벌 기업에서 일하는 수학자들을 자주 접할 수 있는 이유도 이 때문이다. 현대 경영의 경쟁력은 수학이다. 이는 미국 벱슨대학 경영학과 교수인 Thomas Davenport(토마스 데이븐포트)가 그의 베스트 셀러 저서인 <Competing on Analytics 분석학의 경쟁>에서 내린 결론이다.

또한 많은 글로벌 기업의 리더들과 학자들은 수학이 새로운 기업의 경쟁력이 될 것이란 주장에 반론을 제기하지 않는다.

경영의 새로운 패러다임은 수학이다. 과연 여러분의 자녀들은 이런 패러다임에 대응할 전략을 갖추고 있는지 이러한 인재로 자랄 수 있을지 예리한 시선으로 검토해 볼 때다.

최근들어 이민과 유학이 줄면서 캐나다에서 태어났거나 어려서부터 공부한 학생들의 수학진단(Diagnostic) 테스트 결과 12년동안의 평균과 비교하여 절반정도인 심각한 상황이라 다음 칼럼에서 자세히 다뤄보겠다. 

수학교육 전문가
Math4U 원장 김동기

수학을 통해 개개인의 정신에 대해 잘 알려진 특성을 장기간의 역사적인 패턴과 연관 지어 생각해 보았다.
수 세기동안 지구전체에 퍼져있는 패턴이다. 수학적인 분석을 통하여 그 기저에는 실제 매우 단순한 현상이 존재한다는 사실을 알게 되었다.
이는 매우 잘 알려진 특성으로 우리는 양의 많고 적음을 상대적으로 인식한다는 사실이다. 예를들면 빛의 강도나 소리의 크기와 같은 것 들이다.
우리는 실제 radio 볼륨을 2배로 높여도 소리가 2배로 커진 것을 느끼지 못한다. 이에 대한 칼럼은 앞으로 한번 자세하게 다뤄보겠다.

일반적으로 사람들은 인간의 행동을 계량화 하거나, 역사를 측량할 수 없다고 믿는다.
그러나 수학이라는 도구를 사용하면 가능한 일이다.
수학이 과학이나, 경제학 등 다른 학문을 하는데도 상당히 도움이 된다는 사실을 볼 때 수학은 강력한 언어이다.
하물며 언어중 하나인 영어에서조차 수학적 패턴이 존재함을 발견하였다.

언어는 시간이 흐르면 변한다.
동사에 단지“ ed”만 맨 끝에 갔다 붙이면 과거를 나타내는 동사가 있는 반면 불규칙 동사들도 많이있다. 그런데 흥미로운 점은 세월이 흐르면서 불규칙 동사들이 규칙적으로 변했다는 것을 알게 되었다.
영국의 알프레드 대왕 이 후 오늘 날의 힙합 가수들 사이의 12세기에 걸치는 기간 동안 100개 이상의 불규칙 동사들의 변화를 살펴 보았다.
실제로 매우 단순한 수학적 패턴이 있다는걸 알게 되었다.
만약 하나의 동사가 다른 동사보다 100배 이상 자주 사용되면, 그 동사는 10배가량 느리게 규칙적으로 변화했다. 역사의 한 부분을 수학적으로 분석한 셈이다.

지난 2세기동안 있었던 전쟁의 강도에 대해 분석해 보았다. 전쟁에도 규칙성이 있음을 알게 되었다.
1967년에 있었던 제3차 중동전쟁으로 불리는 6일 전쟁만큼 치명적인 전쟁은 30번 정도 있었다. 그동안 일어났던 전체 전쟁의 평균보다 100배가량 치명적인 전쟁의 횟수는 전체의 10분의 1정도로 단 4번뿐이다.
세계 1차대전등이 이에 해당된다. 어떠한 역사적인 메커니즘이 이러한 결과를 낳게 되는 것일까? 그 근원은 무엇일까?
결국 우리의 뇌가 양의 많고 적음을 상대적으로 인식한다는 사실 때문에 일어난 일이라 생각된다.
예를 들어 처음에는 1000명의 군인을 투입하여 전쟁을 벌였다면 다음에는 1200명을 투입 하는게 아니라 1만 명을 투입하게 되었는데도 사람들이 느끼는 것은 그렇게 많은 수가 아니라고 느끼게 되는 게 문제이다.
우 리가 양의 많고 적음을 인식하는 방식 때문에 전쟁이 계속 지속되면 전쟁에 투입되는 군인들의 수와 사망자 수가 증가하는데 1만, 1만1000, 1만2000명 이런 식의 증가가 아니라 1만명, 2만명, 그다음엔 4만명 순으로 기하급수적으로 증가하게 된다.


이 와 같은 유형들의 예는 수학적 분석을 통해 얼마든지 밝혀낼수 있고 앞으로는 더욱 가속화 될것이다. 그 이유는 역사 기록이 굉장히 빠른 속도로 디지털화되고 있기 때문이다. 세상에는 역사가 시작된 이래 대략 1억 3000만권의 책들이 있다. 필자는 거기에 몇 권밖에 보태지 않았는데도 말이다.
Google과 같은 회사들이 그 중많은 수의 책들을 디지털화했는데 대략 2000만권이 넘는다. 자료가 디지털화 될수록 수학적 분석을 통해 매우 빠르고 편리하게 세계의 역사와 문화가 흘러가는 방향을 예측할 수 있게 되었다.

필자가 예측하기로는 향후 10년 이내에 과학과 인류가 더욱 가까운 사이가 될 것이다. 수학이 그 해답을 찾는 강력한 소통수단이 될 것이다.
수학을 통해 역사에 내재된 새로운 흐름을 밝혀낼 수 있고 때로는 장래에 어떤 일이 일어날지 예측도 할 수 있을 것이다. 

수학교육 전문가
Math4U 원장 김동기

수학을 배워서 어디에다 쓰나(상)

기원전 3세기경 이탈리아 시칠리 섬의 시라쿠사에 아르키메데스 (287-212 B.C.)라는 유명한 학자가 살았었다. 그는 임금인 히에론에게 수학을 가르치곤 했다. 하루는 임금님이 그에게“수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”라고 물었다.

아르키메데스는 친절하게도 예를 들어 지렛대와 도르래로 무거운 물체를 들 수 있는 것 등이 모두 수학적인 원리를 이용한 것임을 설명하였다.

또 포물선의 성질을 이용한 포물거울로 햇빛을 모아 로마함대를 무찌를수 있었던 것도 수학의 덕분이라고 덧붙였다. 하지만 아르키메데스 자신은 수학의 쓰임보다도 자연에 숨어있는 섭리를 발견하는 것이 더 큰 즐거움이었다. 지금도“수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”라고 묻는 사람들이 많다. 역사적으로 볼 때 수학은 인류 최초의 학문이다. 고대 그리스 시대에 수학은 곧 철학이었다.

화음 이론, 원근법, 투시도, 측량, 천체 관측 등 모든 것이 수학에서 비롯됐다. 현대 사람들이 추구하는 문제 가운데는“가장 적합한 것을 구하는 것”이 많다. 어떤 상품을 개발할 때 최대 이윤을 남기도록 하는 것에서 부터 인공위성을 설계할 때 발생하는 문제들을 대부분 수학으로 해결한다. 과거에는 아무렇게나 만들어도 작동하던 것들이 과학과 기술이 발전하면 할 수록 점점 더 효율적이고 적합한 것들을 추구하기 때문이다.

한마디로 수학을 떼어 놓고는 제대로 할 수 있는 일이 없다고 보면 된다. 이제 인류 최초의 학문이면서 인류 최후의 학문으로 불리는 수학이 걸어온 길을 살펴 보기로 하자.

·학문 탄생의 산파
고 대 그리스의 수학자들은 길이 재는 법을 가르쳐줬고, 삼각형의 성질을 이용해 강을 건너지 않고도 강의 폭을 알 수 있게 해줬으며, 산에 오르지 않고도 산의 높이를 알 수 있도록 했다. 달에 가 보지 않고도 달까지의 거리를 쟀다. 고대 학문의 중심지였던 알렉산드리아 도서관 관장이었던 에라토스테네스는 삼각형의 성질을 이용해 하지 정오에 만들어지는 막대기의 그림자를 보고 지구의 크기까지 측정했다. 또 수학자들은 천체의 운동을 관측하면서 시각을 알려줬다.

일년은 3백65일이며, 한바퀴 돌면 3백60도이고, 일년은 12달, 하루는23시간 56분 4.0905초라는 것 등이 모두 수학자 덕분이라는 얘기다. 뿐만 아니라 땅의 넓이를 재는 법도 알려줬다. 이것은 가을에 곡식을 얼마나 거둘 수 있는가를 예측하게 해주었으면, 국가로서는 세금을 걷는 근거가 됐다. 홍수로 강이 범람해 누구 땅인지 구별하기 어려울 때에도 해결책을 제시했다.

또 수학자들은 그리스의 파르테논 신전이나 이집트의 피라미드를 설계할 때 아름다운 황금비를 제안했으며, 필요한 돌의 양을 미리 알려줬다. 지구가 둥글다는 것을 발견하고, 태양을 도는 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견한 케플러 (1571-1630)의 업적도 그리스의 기하학이 없었다면 이루어지지 못했을 것이다. 이처럼 수학은 시대마다 새로운 학문을 탄생시켰고 미래에도 그러할 것으로 예상된다.

· 과학을 인도하다
양 자역학과 입자물리학에도 군론과 복소수이론, 확률론은 그래도 이용된다. 19세기 초 프랑스의 갈루아(1811-1832)는 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하는 않는 이유를‘대칭성 이론’을 도입해 완벽하게 해결했다. 이 이론은 20세기 초에 군론(group theory), 체론(field theory), 표현론(representation theory)으로 크게 발전했다. 현재 군 이론은 통신을 할 때 잡음이 들어가는 것을 수정하는 방법(error correcting code)에, 또는 일부러 잡음을 넣에 보안에 신경을 쓰고자 할 때도 쓰인다.

20세기 수학자들은‘유한군론과 리군 (Lie group)론’을 통해 자연과 사회 및 인간의 마음에 존재하는 모든 대칭성을 찾아 그것들에 대한 도표를 만들기 시작했다. 이것은 4차원 공간이나 그 이상을 설명하고 나아가 물질의 본질을 규명하는 기본 원리로 쓰였다. 과학자들이 자연세계의 본질을 파헤치기 위해 찾으려고 했던 소립자들을 물질이라기보다‘대칭성의 표현’ 이라고 하는 것도 같은 맥락이다.



수학을 배워서 어디에다 쓰나(하)

신용카드에서 디지털 혁명까지 최근에 물리학의 양자장론과 끈이론 (String theory)에서도 19세기 말부터 출발해 20세기말에 매듭이론 (knot theory) 으로 크게 발전한 위상수학(位相數學,topology)이라는 학문이 크게 쓰이고 있다. 현대 수학에서 빼놓을 수 없는 것이 암호이론과 게임이론이다.

암호이론과 관련해 튜링(1912-1954)은 2차 세계대전 당시 독일군의 암호를 해독해 영국을 전쟁에서 승리하도록 도움을 준 것으로 유명하다. 또 20세기 경제학과 정치학, 외교학 발전에 크게 기여한 게임이론은 독일 수학자 폰노이만(1903-1957)의 작품이다. 물론 튜링과 폰노이만은 컴퓨터를 발명한 장본인들이기도 하다.

컴퓨터가 오늘날처럼 발전하게 된 데는 여러 과학자들의 힘이 컸지만, 수학자들의 역할도 무시할 수 없었다. 예를 들어 불(1815-1864)의 2진법(binary) 대수체계에 대한 이론은 1940년 이후 전기회로에 이용되면서 컴퓨터를 이진 회로로 동작하는 기계로 설계하였다. 현재 전 세계에서 통용되는 ‘공개키 암호’의 원리도 군론과 소인수분해이론이 응용된 것이다.

이러한 이론은 현대사회에서 개인들이 신용카드를 사용하고, 은행 예금을 인출하며, e메일을 주고 받으며, 셀룰라폰을 사용하고, 기업이나 국방외교의 기밀을 보장하는데 유용하게 쓰인다.

요 즘 흔히 쓰이는 용어중 디지털 혁명도 수학과 함께 시작했다. 프랑스의 푸리에(1768-1830)의 이론에 따르면 모든 주기적인 현상은 sin이나 cos등 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 이론은 1948년 벨 실험실(Bell Lab)의 섀논이라는 수학자의 논문 ‘통신의 수학적 이론’에 적용된다.

이 결과로 아날로그 통신시대는 막을 내렸고 디지털 혁명을 가속시켰다. 현재 머리카락 굵기의 전선에 6백40만개 이상의 신호를 처리할 수 있게 된것이 수학자들의 공로란 얘기다. 푸리에이론은 많은 용량의 음악을 담는 CD를 탄생시켰을 뿐 아니라 지구 반대편의 사람들과 얼굴을 보면서 영상통화도 가능하게 만들었다.

·날씨와 미분방정식
현대인의 생활과 가장 밀접한 관련을 맺고 있는 날씨도 수학을 빼고는 설 자리가 없다. 태풍이 분다든가 비가 온다든지 하는 기상변화와 지진이 일어나고 해류가 흐르는 것들을 분석하고 예측하기 위해서는 고도의 미분방정식을 잘 풀어야 하기 때문이다. 일기예보가 어려운 이유 중의 하나는 자료를 분석하고 설계하는 수학이 어렵기 때문이다.

미분방정식과 같은 수학은 국가의 경제에도 큰 영향을 미친다. 얼마전 미국이 누렸던호황은 금융호황이라고 불리는데 이것은 금용수학의 바탕에서이루어졌던 것이다. 1973년 블랙과 숄츠 같은 수학자들은 미분방정식 이론이 금융시장에도 잘 적용되는 것을 발견했다.

금융시장의 흐름을 미분방정식을 통해 알 수 있다는 말이다. 뉴욕의 금융시장에서는 수천 명의 수학자들이 새로운 금융상품을 만들어낸다. 국민연금이나, 퇴직금, 의료보험금 등 경제활동으로 파생되는 경영 문제와 기업평가 등은 수학자의 손에서 이뤄진다. 세계 경제의 흐름을 수학자들이 이끌어 낸다고 말할 수 있다.

이렇게 현대 수학은 과학은 물론, 경제분야와 일상 생활 전반에 깊에 관여하고 있다. 수학은 이공계로 갈 사람들만 공부하면 될 것이라 생각한다면, 큰 오해다. 수학은 사람의 마음을 종합적으로 훈련시키는 학문이다.

단순히 과학을 배우기 위한 도구가 아니라 바르게 생각하고 표현하는 방법을 제공하는 언어이기 때문이다. 젊었을 때 다양한 지식을 배우는 것은 매우 중요하다. 수학뿐만 아니라 수학의 인접 분야에 대해서도 다양한 지식을 쌓아야 한다. 이렇게 배워둔 것들은 오랜 시간이 지난 후에 여러 가지로 커다란 도움이 될 것이다.

Math4U 원장 김동기 (416)222-2782

평균수명이 길어지면서 고령 인구가 늘고 있다. 이제 암도 더는 위협적인 질병이 아니다. 암으로 진단받고도 항암치료를 받으며 10년 넘게 살거나 완치되는 사람도 많다. 


나이가 들면서 사람들이 걱정하는 질병은 치매다. 몸은 멀쩡한데 내 자신을 잊어 가는 병이 치매다.

최근 미국에서 발표된 연구에 따르면 코를 고는 사람이 그렇지 않은 사람보다 치매에 걸릴 위험이 높다. 특히 자는 도중 코를 골다가 숨을 멈추는 수면무호흡증이 있다면 치매가 생길 위험이 높다. 


수면무호흡증이 있으면 뇌에 산소 공급이 잘되지 않아 뇌 손상이 일어난다. 또 무호흡증에 잘 생기는 고혈압이 뇌혈관을 손상시켜 혈관성 치매 위험을 높인다. 


나이가 들면 코골이, 수면무호흡증 발생률이 높아진다. 기도 주위 조직인 목젖, 연구개 등에서 탄성이 줄어 숨을 들이쉴 때 쉽게 안으로 빨려 들어가면서 기도를 막기 때문이다. 노인 코골이는 젊은 사람에 비해 소리가 작고 숨이 잘 막힌다. 


잠은 쉽게 들지만 두세 시간 자다가 깨서 다시 잠이 안 온다는 노인들이 있다. 수면검사를 해 보면 심한 수면무호흡증을 보이고 숨이 막혀 잠에서 깨는 경우다. 


코골이, 수면무호흡증은 여성보다 남성에게서 흔하다. 그러나 여성이 폐경기에 들어서면 남성호르몬인 테스토스테론의 영향을 더 많이 받아 남성화되면서 코골이가 급격히 늘어난다. 


치매 예방에 의학적으로 효과가 입증된 것은 독서와 운동이다. 또 육류보다 해산물을 많이 섭취하는 것이 좋다. 고혈압, 당뇨 등도 효과적으로 관리해야 한다. 


이에 더해 신경을 써야 할 것이 잠이다. 수면 중에도 뇌는 쉬지 않으며 낮 동안 얻은 정보를 정리하고 단기기억에서 장기기억으로 옮긴다. 뇌는 무게당 가장 많은 산소를 소비하는 장기로 수면무호흡증으로 인한 산소 부족의 영향을 가장 심하게 받는다. 치매를 예방하려면 잠을 살펴봐야 하는 것도 이러한 이유에서다. 


코골이와 수면무호흡증이 있을 때, 자다가 중간에 깨는 일이 잦을 때, 자고 나도 머리가 맑지 않을 때, 기억력과 집중력이 떨어진다고 느낄 때 병원을 찾아 수면 관련 질환에 대한 진단을 받아보는 것이 좋다. 

이미지출처:kdaq.empas.com

동서양을 막론하고 왕권을 세우는 데 필수조건 이었던 것은 도량형의 정비. 오늘날 국제단위의 기본으로 사용되는 미터법이 프랑스 혁명기에 어떻게 이뤄졌으며, 보편성을 인정 받을 수 있었던 객관적인 근거는 무엇인지 살펴본다.
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프랑스혁명이 탄생시킨 미터법(the metric system) 

미터법은 거의 세계적으로 사용되고 있다. 전통적인 계량 단위들이 사용되고 있는 대한민국에서도 공식적인 문서들에서는 1964년1월1일부터 미터법만을 사용한다. 양을 측정하는 단위는 일종의 사회적 약속이요, 관습으로 굳어진 것이므로 새로운 단위를 사용하는 데는 많은 저항이 따른다. 

이러한 저항에도 불구하고 역사를 살펴보면 새로운 정권이 들어서면 우선 시행하는 제도가 단위의 통일이다. 그럼으로써 지방의 부정 부패를 없애고 중앙정부의 권한을 강하게 유지할 수 있기 때문이다. 그래야만 공정한 수세와 조세의 형평성이 이뤄진다. 

미터법 역시 새로운 왕권이 들어서면서 국가적인 개혁으로 이뤄졌다. 그러나 미터법은 한 국가에서만 사용된 것이 아니라 그 보편성을 인정 받아 18세기 말에 프랑스에서 제정된 이후 꾸준히 각국에서 채택됐다. 미터법은 길이의 단위인 미터(잰다는 의미의 그리스어인 매트론 mctron 또는 라틴어 메트룸 metrum에서 유래)를 전체 단위의 기초로 삼고 넓이, 부피, 질량의 단위를 규정했다. 그 당시 길이의 단위로서 1미터는 지구의 북극에서 적도까지의 최단거리를 1천만 분의 1로 나눈 것이다. 이것을 기초로 넓이의 단위인 아르(프랑스어 are, (1a=100 제곱 미터)변의 길이가 10미터인 정사각형의 넓이)와 부피의 단위인 리터(L, 모서리의 길이가 1미터인 정육면체의 부피의 1000분의 1)가 정해졌다. 그리고 부피의 단위로부터 질량의 단위인 그램이 물의 밀도와 관련돼 만들어졌다. 즉 4도 온도의 증류수 1L 질량의 1000분의 1을 1g으로 정한 것이다. 

사회질서 구축 위한 도량형 

18세기 말 프랑스에서 만들어진 미터법은 어떻게 이뤄졌으며, 그것이 보편적인 단위로서 인정 받을 수 있는 객관적인 근거는 무엇일까. 이를 살펴보기 위해 인류사의 커다란 변혁이 이뤄진 18세기 말의 프랑스를 살펴보자. 

1789년 7월 14일 프랑스 파리에서는 분노한 군중들이 정치범들이 수용돼 있는 바스티유 감옥으로 몰려 가 옥문을 부수고 새 시대를 열었다. 프랑스 대혁명은 전제적인 절대 왕권에 대항한 시민이 정권을 차지함으로써 시민이 주인 된 민주주의의 신기원이었다. 

왕족과 귀족, 성직자들 속에서 이뤄진 앙시앙 레짐(구체제)의 모든 잔재를 사회 속에서 몰아내는 것이 혁명가들의 목표였다. 이런 상황 속에서 새로운 도량형의 제정은 새로운 사회 질서의 구축을 위해 자연스럽게 거론됐다. 

당시의 프랑스에서는 봉건적인 구습을 따른 도량형들이 사용됐다. 종잡아 7백-8백 개의 다양한 단위들이 상업, 건축, 측량, 농업, 제조업 등에서 사용되고 있었다. 이러한 단위들은 같은 이름이라도 지역마다 그 양이 다르기 일쑤였고 10진법을 사용하지 않는 경우가 허다해서 계산이 매우 어려웠다. 

(도량형: 사물을 계량, 계측하고, 물건을 비교, 교환할 때 기준이 되는 자, 되, 저울 등을 가리킨다. 길이를 재는 자, 부피를 재는 되와 말, 무게를 다는 저울은 물물교환이나 거래 시 흔히 사용했던 전통 도량형기다.) 

단위의 혼란은 당연히 모든 거래와 제도들의 질서를 어지럽힘으로써 사회의 혼란을 가중시켰다. 그러므로 도량형의 개혁에 대한 의견은 혁명 전에도 이미 여러 차례 제기된 바 있었다. 이런 상황에서 혁명은 도량형 제도의 개혁을 위한 절호의 기회라 할 수 있었다. 

한편 당시 프랑스의 측정 기술은 세계적인 수준이었고, 여러 측정 장치들이 개발되고 개선됨으로써 다양한 양들에 대한 정밀 측정들이 과학자들에 의해 시도되고 있었다. 

잘 고안된 측량도구들은 거리와 길이를 정확하게 측정했고, 정교하게 제작된 시계는 시간을 이전보다 훨씬 정확하게 측정했다. 또 저울은 미세한 질량의 차이도 감지할 수 있게 해줬다. 그리고 전하량, 열량, 기체의 부피 등을 측정할 수 있는 장비들이 개발됐다. 

과학이 정성적 단계에서 정량적 단계로 한 단계 발돋움하고 있었던 셈이다. 이러한 정량적 과학의 발전은 당시 유럽 과학의 중심지라고 할 수 있는 파리 과학 아카데미에서 주도했다. 과학 아카데미 회원들은 과학사의 잠재력을 국가를 위해 유익하게 쓸 수 있는 예로써 도량형의 개혁을 주장했다. 

도량형 개혁의 주창자들은 새로운 도량형 체계는 임의적이지 않고 표준원기를 잃어버리더라도 쉽게 재생이 가능해야 한다고 생각했다. 또 무엇보다 합리적이고 보편적이어야 하며 단순해서 사용하기가 편리해야 한다고 주장했다. 또 단순성과 사용의 용이함을 위해서는 10진법을 채택해야 한다는 것이 기본적인 생각이었다. 

1790년, 아카데미 회원인 탈레랑은 이런 조건을 만족하는 길이의 표준을 북위 45도 상에서 초 단위로 흔들리는(즉 주기가 2초인) 진자의 길이로 삼을 것을 제안했다. 또 영국을 이 과정에 초청함으로써 이 단위를 모든 나라가 받아들일 수 있도록 하자는 의견도 제시했다. 

한편으로는 지구 자오선의 북극에서 적도까지의 거리를 1천만분의 1로 나눈 것을 길이의 단위로 삼자는 의견도 제시됐다. 그러나 군사 공학자인 프뢰외르는 상황이 쉽지 않고 작업의 비용이 엄청나면서도 측정의 오차가 클 것이라는 이유를 들어 반대했다. 

영국이 배제된 미터법 

초진자의 길이는 이미 1백 년이 넘도록 길이의 표준 단위로 많이 사용됐다. 초진자의 길이를 길이의 표준으로 삼자는 견해에 대해 영국 측의 학자들도 큰 이의가 없었고 이에 대한 제안을 영국 의회에 상정했다. 그러나 프랑스의 혁명이 더욱 격화되면서 양국의 관계는 악화됐고 아카데미가 진자의 길이를 우선적인 단위로 삼지 않기로 결정함으로써 두 나라의 공조는 이뤄지지 않았다. 

프랑스의 국민의회는 탈레랑의 제안을 수락했고 이를 위해 아카데미에는 보르디, 라그랑주, 라부아지에, 콩노르세 등을 중심으로 위원회가 구성됐다. 1791년 3월에 이들은 진자보다는 파리를 통과하는 지구 자오선의 길이가 더 좋은 표준이 될 수 있다는 보고서를 냈다. 

그 이유는 길이의 단위를 결정하기 위해 길이와는 무관한 시간의 단위를 사용하는 것은 문제가 있다는 것이었고 초의 길이라고 하는 것이 10진법을 따르지 않는 임의적인 것이기에 마땅치 않다는 것이었다. 다만 초진자의 길이는 그 편리성을 고려해 부차적인 기준으로 삼기로 했다. 

이를 위해 극에서 적도까지의 길이를 측정하는 것은 너무 큰 작업이므로 위도 45도 근방의 호의 길이를 재기로 했다. 더불어 초진자의 길이를 관측하기 위한 기준 위도를 확정한 후, 초진자의 길이를 측정했다. 

이어서 중량의 단위를 측정하기 위해 얼음이 녹는 온도에서 부피를 잰 증류수의 무게를 측정하고 마지막으로 프랑스에서 사용되는 옛 단위들을 세 표준과 비교하는 작업을 수행하기로 결정했다. 프랑스인들은 이 표준들 자체가 자연적인 것이므로 당연히 다른 국가들에서 받아들여질 것이라고 보았다. 

이러한 제안들이 국민의회에 제출되었고 곧바로 승인을 받았고 8월에 비교적 많은 액수의 10만 리브르가 주어졌다. 그러나 정치적 격동은 이 프로젝트에 일대 시련으로 다가왔다. 1793년 자코뱅당이 정권을 잡고 이른바 공포정치가 실시되면서 과학아카데미의 엘리트주의에 반감을 품은 세력에 의해 아카데미는 8월 8일에 폐쇄되고 말았다. 

프뢰외르 손에서 이뤄진 미터, 리터, 그램 

정치적 폭풍 속에서도 보편적인 도량형의 재정 작업은 튼튼한 빛이었으나, 이러한 폭풍 속에서 희생은 피할 수 없는 것이었다. 정치청부업자로 민중의 원성을 산 라부아지에가 11월 28일에 체포돼 단두대의 이슬로 사라졌고, 보르다, 브리송, 쿨롱, 들랑브르, 라플라스도 왕에 대해 우호적이라 해 임시 위원회에서 제명됐다. 

이러한 결정의 뒤에는 이들에게 역감을 품은 군사 공학자 프뢰외르가 있었다. 그는 자신의 정치적 견해와 도량형 제안에 대해 반대한 이들에게 보복을 했던 것이다. 이제 미터법 프로젝트는 프뢰외르의 손에 의해 제작과 배포됐고 m(미터), L(리터), g(그램)의 기초 명칭이 확정됐다. 주요 측정 작업들은 이전에 맡았던 아카데미 회원들에 의해 수행됐다. 

공포정치가 끝나자 1795년 말 과학 아카데미는 프랑스 학사원의 일부로 부활됐다. 이듬해 4월에 베르돌레, 보르다, 브리송, 쿨롱, 들랑브로, 라플라스, 르장드로, 메솅, 몽주 등을 중심으로 한 위원회에서 다시 미터 프로젝트가 수행됐다. 

라플라스는 이를 위한 국제적인 학자의 모임을 주창했고 나폴레옹의 지지로 영국이 배제된 가운데 학자들이 초청됐다. 이 연합 위원회는 3개 소위원회를 구성해 작업했고 메솅과 들랑브로의 측정치로부터 미터의 길이를 확정하고 부피와 무게의 단위도 확정했다. 

마침내 1799년 6월 22일에 공식적으로 도량형 표준들이 민중들에게 제시됐고 미터법은 옹호자들에 의해 “학사원이 프랑스 공화국에게 끼친 불멸의 봉사이며, 전인류에게 미친 큰 유익”이라는 칭송을 받았다. 이제 미터법은 인류가 그것의 혜택을 누리기만을 기다리고 있었다. 

보편성으로 인정 받은 국제단위 

1872년 연합 위원회를 구성했던 29개국 출신의 학자들은 자국으로 돌아가 미터법을 전파 시켰다. 미터법은 프랑스와 합병된 지역에서 다른 단위를 배제한 채 독점적으로 사용됐다. 스페인과 이탈리아에서도 긍정적인 반응이 있었으나, 프랑스 내부에서 반대가 일어났다. 

1801년 부 터 이뤄진 토지거래는 미터법만을 사용해야 했지만 사람들은 거부했다. 농부나 측량사, 건축가, 포목상들은 좀처럼 오랫동안 사용해온 자를 버리지 않았다. 국가의 강제적 조치는 결국 상용 단위와 공식 단위의 분리를 초래해 생활을 더욱 복잡하게 만들었다. 

결국 오래된 단위의 병용이 허용되는 방향으로 나아갔다. 결국 이전의 단위들은 새 단위와 뒤섞여 쓰임으로써 도량형 개혁은 실효를 거두지 못하는 듯했고 미터법 제정에서 배제되었던 영국인들의 조롱을 샀다. 

그러나 결국 미터법이 갖고 있는 보편적인 특징과 10진법을 쓰는 이점은 서서히 그것의 사용을 확대시켜나가고 있었다. 1800년 이후로 건축 설계에서 미터법이 점점 많이 쓰이게 됐고 옛 단위와 미터법이 병행되던 단계를 넘어서 점점 미터법만이 쓰이는 일이 많아졌다. 

1810년경부터 기술 서적들은 미터법만을 사용했다. 교수들과 공무원들은 미터법의 사용을 강의 및 공식 문서들에서 전적으로 요구했다. 결국 1840년에 프랑스에서는 미터법만을 사용하도록 법을 규정했다. 이렇게 미터법은 보편적인 도량형으로 자리를 굳혀 나가기 시작했다. 

혁명의 과욕 1주일은 10일 

한편 미터법이 제정되는 과정과 더불어 진행된 달력과 시간의 개혁은 미터법과는 다른 운명을 맞았다. 10진법의 사용이 혁명의 이상에 부합한다는 생각이 팽배해지자 아카데미 회원들은 직각을 1백 등분해 도(度)를 삼고(grad), 도를 1백 등분해서 분(分)을 삼는 식으로 10진법을 각도에 까지 도입하려고 했다. 더 나아가서 달력과 시간을 교회와 바빌로니아의 전통에서 벗어나게 하고자 했고 이러한 생각은 혁명의 정신에 잘 부합했다. 

마침내 1793년 9월 20일에 과학 아카데미는 공공시도위원회에 달력과 시간의 개혁안을 제출했다. 이 개혁안은 프랑스에서 공화국이 선포된 1792년 9월 22일(이 날은 추분이기도 했다)을 혁명 년의 날로 삼고 날의 분할에도 십진법을 도입해서 한 달을 균일하게 30일로 하고 10일 단위로 순(旬)을 삼아서 주(週)를 대신하게 하며 1년을 12월로 삼고, 남은 5일 또는 6일은 휴일로 삼자고 했다. 또한 하루의 시간도 십진화해서 하루를 10시간으로 하고 각 시간을 1백분으로 나누도록 제안했다. 

이러한 제안은 곧 입법화됐고 모든 공공 서류들은 새로운 스타일로 날짜를 표기했다. 각 월의 명칭에 대해서는 숫자로 하자는 의견도 강했지만 결국 기후에 따른 명칭을 붙이기로 해 9월 22일을 시작으로 해서 가을에는 포도 월(苞萄月), 무월(霧月), 상월(箱月), 겨울에는 설월(雪月), 우월(雨月), 풍월(風月), 봄에는 종월(種月), 화월(花月), 목월(牧月), 여름에는 맥월(麥月), 열월(熱月), 숙월(熟月)이란 이름이 붙여졌다. 

요일의 명칭은 1요일, 2요일, 3요일…… 10요일로 하였다. 이로써 개혁자들은 새로운 혁명력이 특정한 문화를 반영하지 않는 보편적인 달력이 됐다고 만족해 했다. 곧 10진법에 따라 추가 움직이는 시계가 만들어져 아카데미 회원을 중심으로 시범적으로 사용됐다. 라부아지에도 그 중의 하나를 갖고 있었다. 

그러나 이러한 시간의 10진화는 다른 국가와 정보를 교환하는데 난점으로 작용해 실용화되지 못했고, 1795년에 그 사용이 유보됨으로써 혁명력 자체의 사용은 난관에 부딛쳤다. 혁명력에서 가장 혁명적인 것은 주의 폐지였다. 

오랜 세월 동안 일주일을 주기로 이뤄져 왔던 사람들의 생활을 10을 단위로 삼은 새로운 주기에 맞추겠다는 당찬 계획은 7일을 주기로 이뤄지는 교회의 의례를 따르지 않음으로써 교회의 지배에서 벗어나자는 혁명의 정신을 반영하고 있었다. 

그러나 거센 반대의 핵심은 교회보다 민중들에게 있었다. 이 법안을 따라 공공 업무와 공공 시설들은 10요일에는 모두 쉬도록 조치되었지만 사람들은 7일마다 쉬던 것을 10일 마다 쉼으로써 휴일이 1년 동안 52회에서 36회로 줄어드는 것을 싫어했다. 결국 교황청과 조정을 이루는 사이에 나폴레옹은 몰락했다. 일주일이 10일이 아닌 것이 얼마나 다행인지는 모든 사람이 공감할 것이다. 

[한국일보 연재 Math4U 칼럼]